高三数学一轮复*第八篇立体几何与空间向量第7节立体几何中的向量方法第二课时求空间角与距离课件理优质课

发布于:2021-07-27 06:51:00

第二课时 求空间角与距离 考点专项突破 解题规范夯实 考点专项突破 在讲练中理解知识 考点一 向量法求异面直线所成的角 【例 1】(2016 沈阳高三一轮质量监测)在直三棱柱 ABC A1B1C1中,若 BC⊥AC, ∠BAC= π ,AC=4,点 M 为 AA1 的中点,点 P 为 BM 的中点,Q 在线段 CA1 上,且 3 A1Q=3QC,则异面直线 PQ 与 AC 所成角的正弦值为 . 解析:由题意,以 C 为原点,以 AC 边所在直线为 x 轴,以 BC 边所在直线为 y 轴,以 CC1 边所在 直线为 z 轴建立空间直角坐标系,如图所示.设棱柱的高为 a,由∠BAC= π ,AC=4,得 BC=4 3 , 3 所以 A(4,0,0),B(0,4 3 ,0),C(0,0,0),A1(4,0, a),B1(0,4 3 ,a),C1(0,0,a), M(4,0, a ),P(2,2 3 , a ),Q(1,0, a ). 2 4 4 uuur 所以 QP =(1,2 3 ,0), uuur CA =(4,0,0). 设异面直线 QP 与 CA 所成的角为θ, uuur uuur 所以|cos θ|= |uQuurP ? CuAuur| = |1? 4 ? 2 3 ? 0 ? 0? 0 | = 13 . | QP | ? | CA | 13 ? 4 13 所以 sin θ=± 2 39 ,因为异面直线所成角的正弦值为正,所以 sin θ= 2 39 即为所求. 13 13 答案: 2 39 13 反思归纳 向量法求异面直线所成角的方法 (1)选好基底或建立空间直角坐标系;(2)求出两直线的方向向量 v1,v2;(3)代 入公式|cos<v1,v2>|= | v1 ? v2 | 求解. | v1 || v2 | 提醒:两异面直线所成角θ的范围是(0, π ],两向量的夹角α的范围是[0,π], 2 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线的夹角;当异 面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线的夹角. 【即时训练】 (2014 高考新课标全国卷Ⅱ)直三棱柱 ABC A1B1C1 中,∠BCA= 90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成角的余弦值为 () (A) 1 10 (B) 2 5 (C) 30 (D) 2 10 2 解析: 建立空间直角坐标系如图, 设 BC=CA=CC1=2,则 B(0,2,0),A(2,0,0),N(1,0,2), uuuur uuur M(1,1,2),所以 BM =(1,-1,2), AN =(-1,0,2), uuuur uuur 所以 BM · AN =-1+0+4=3, uuuur uuur | BM |·| AN |= 6 × 5 = 30 . uuuur uuur 所以 cos< BM , AN >= uuuur uuur uBuuMur ? AuuNur = 3 = 30 .故选 C. | BM || AN | 30 10 考点二 向量法求直线与*面所成的角 【例 2】 (2016 长春高三模拟)如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, ∠DAB=60°,PD⊥*面 ABCD,PD=AD=1,点 E,F 分别为 AB 和 PD 的中点. (1)求证:直线 AF∥*面 PEC; (1)证明:作 FM∥CD 交 PC 于 M,连接 ME.因为点 F 为 PD 的中点, 所以 FM= 1 CD.所以 AE= 1 AB=FM. 2 2 所以 AEMF 为*行四边形,所以 AF∥EM, 因为 AF? *面 PEC,EM? *面 PEC, 所以直线 AF∥*面 PEC. (2)求 PC 与*面 PAB 所成角的正弦值. (2)解:连接 DE,因为∠DAB=60°,所以 DE⊥DC.如图所示,建立坐标系,则 P(0,0,1),C(0,1,0), E( 3 ,0,0),A( 3 ,- 1 ,0),B( 3 , 1 ,0),所以 uuur AP =(- 3 , 1 ,1), uuur AB =(0,1,0). 2 22 22 22 uuur uuur 设*面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z).则 n· AB =0,n· AP =0, ? 所以 ?? ? 3 2 x ? 1 2 y ? z ? 0, 取 x=1,则 z= ?? y ? 0, 3, 2 所以*面 PAB 的一个法向量为 n=(1,0, 3 ).因为 uuur PC =(0,1,-1), 2 uuur 设向量 n 与 PC 所成的角为θ,所以 cos θ= n ? PuuCur = | n || PC | ?3 2 =- 42 , 7 ? 2 14 4 所以 PC 与*面 PAB 所成角的正弦值为 42 . 14 反思归纳 直线和*面所成的角的求法 如图所示,设直线 l 的方向向量为 e,*面α的法向量为 n,直线 l 与*面α 所成的角为 ? ,两向量 e 与 n 的夹角为θ,则有 sin ? =|cos θ|= | n ? e | . | n || e | 【即时训练】 (2016 郑州一检)在三棱柱 ABC A1B1C1 中,侧面 ABB1A1 为矩 形,AB=1,AA1= 2 ,D 为 AA1 的中点,BD 与 AB1 交于 点 O,CO⊥侧面 ABB1A1. (1)证明:BC⊥AB1; (1)证明:由题意 tan∠ABD= AD = 2 ,tan∠AB1B= AB = 2 ,注意到 0<∠ABD,∠AB1B< π , AB 2 BB1 2 2 所以∠

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