2.全等三角形判定一(SSS,SAS)(基础)知识讲解

发布于:2021-07-27 03:18:06

全等三角形判定一(SSS,SAS) (基础)
撰稿:康红梅 责编:吴婷婷 【学*目标】 1.理解和掌握全等三角形判定方法 1——“边边边” ,和判定方法 2——“边角边” ; 2.能把证明一对角或线段相等的问题,转化为证明它们所在的两个三角形全等. 【要点梳理】 【高清课堂: 全等三角形判定一,基本概念梳理回顾】 要点一、全等三角形判定 1——“边边边” 全等三角形判定 1——“边边边” 三边对应相等的两个三角形全等.(可以简写成“边边边”或“SSS” ). 要点诠释:如图,如果 A ' B ' =AB, A ' C ' =AC, B ' C ' =BC,则△ABC≌△ A ' B ' C ' .

要点二、全等三角形判定 2——“边角边” 1. 全等三角形判定 2——“边角边” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS” ).

要点诠释: 如图, 如果 AB = A ' B ' , ∠A=∠ A ' , AC = A ' C ' , 则△ABC≌△ A ' B ' C ' . 注意:这里的角,指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等. 如图,△ABC 与△ABD 中,AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但△ABC 与△ABD 不完全重合, 故不全等,也就是有两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等.

【典型例题】 类型一、全等三角形的判定 1——“边边边”

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【高清课堂: 全等三角形的判定(一)同步练* 4】 1、已知:如图,△RPQ 中,RP=RQ,M 为 PQ 的中点. 求证:RM *分∠PRQ.

【思路点拨】由中点的定义得 PM=QM,RM 为公共边,则可由 SSS 定理证明全等. 【答案与解析】 证明:∵M 为 PQ 的中点(已知) , ∴PM=QM 在△RPM 和△RQM 中,

? RP ? RQ(已知), ? ? PM ? QM , ? RM ? RM 公共边 ? ? ?
∴△RPM≌△RQM(SSS) . ∴ ∠PRM=∠QRM(全等三角形对应角相等) . 即 RM *分∠PRQ. 【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到,如:公共边、公共角、 对顶角等条件隐含在题目或图形之中. 把证明一对角或线段相等的问题, 转化为证明它们所 在的两个三角形全等,综合应用全等三角形的性质和判定. 举一反三: 【高清课堂: 全等三角形的判定(一) 同步练* 6】 【变式】已知:如图,AD=BC,AC=BD.试证明:∠CAD=∠DBC.

【答案】 证明:连接 DC, 在△ACD 与△BDC 中

? AD ? BC ? ? AC ? BD ?CD ? DC 公共边 ? ? ?
∴△ACD≌△BDC(SSS) ∴∠CAD=∠DBC(全等三角形对应角相等) 类型二、全等三角形的判定 2——“边角边” 2、已知:如图,AB=AD,AC=AE,∠1=∠2.

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求证:BC=DE.

【思路点拨】由条件 AB=AD,AC=AE,需要找夹角∠BAC 与∠DAE,夹角可由等量代换证得 相等. 【答案与解析】 证明: ∵∠1=∠2 ∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD,即∠BAC=∠DAE 在△ABC 和△ADE 中

? AB ? AD ? ??BAC ? ?DAE ? AC ? AE ?
∴△ABC≌△ADE(SAS) ∴BC=DE(全等三角形对应边相等) 【总结升华】证明角等的方法之一:利用等式的性质,等量加等量,还是等量. 3、如图,将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 (A、B、D 三点共线,AB=CB, EB=DB,∠ABC=∠EBD=90°) ,连接 AE、CD,试确定 AE 与 CD 的位置与数量关系, 并证明你的结论.

【答案】AE=CD,并且 AE⊥CD 证明:延长 AE 交 CD 于 F, ∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形 ∴AB=BC,BD=BE 在△ABE 和△CBD 中

? AB ? BC ? ??ABE ? ?CBD ? 90? ? BE ? BD ?
∴△ABE≌△CBD(SAS) ∴AE=CD,∠1=∠2 又∵∠1+∠3=90°,∠3=∠4(对顶角相等) ∴∠2+∠4=90°,即∠AFC=90° ∴AE⊥CD 【总结升华】通过观察,我们也可以把△CBD 看作是由△ABE 绕着 B 点顺时针旋转 90°得到

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的.尝试着从变换的角度看待全等. 举一反三: 【变式】已知:如图,PC ? AC,PB ? AB,AP *分∠BAC,且 AB=AC,点 Q 在 PA 上, 求证:QC=QB

【答案】 证明:∵ AP *分∠BAC ∴∠BAP=∠CAP 在△ABQ 与△ACQ 中

∵ ∴△ABQ≌△ACQ(SAS) ∴ QC=QB 类型三、全等三角形判定的实际应用 4、 “三月三,放风筝” .下图是小明制作的风筝,他根据 DE=DF,EH=FH,不用度量, 就知道∠DEH=∠DFH.请你用所学的知识证明.

【答案与解析】 证明:在△DEH 和△DFH 中,

? DE=DF ? ? EH=FH ? DH ? DH ?
∴△DEH≌△DFH(SSS) ∴∠DEH=∠DFH.

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【总结升华】证明△DEH≌△DFH,就可以得到∠DEH=∠DFH,我们要善于从实际问题中抽离 出来数学模型,这道题用“SSS”定理就能解决问题. 举一反三: 【变式】 工人师傅经常利用角尺*分一个任意角, 如图所示, ∠AOB 是一个任意角, 在边 OA, 边 OB 上分别取 OD=OE,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与 D、E 重合,这时 过角尺顶点 P 的射线 OP 就是∠AOB 的*分线,你能先说明△OPE 与△OPD 全等,再 说明 OP *分∠AOB 吗?

【答案】 证明: 在△OPE 与△OPD 中 ∵?

?OE ? OD ?OP ? OP ? PE ? PD ?
△OPE≌△OPD (SSS) ∠EOP=∠DOP(SSS)

∴ ∴

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