302010年中考数学真题分类汇编 专题三十 锐角三角函数

发布于:2021-09-22 13:04:37

2010 年中考数学真题试题分类汇编

专题三十 锐角三角函数

年中考数学真题试题分类汇编 数学真题试题 2010 年中考数学真题试题分类汇编 专题三十 锐角三角函数

一、选择题 辽宁丹东 丹东市 1. 2010 辽宁丹东市)如图,小颖利用有一个锐角是 30°的三角板测量一棵树 ( 的高度,已知她与树之间的水*距离 BE 为 5m,AB 为 1.5m C

30°

A B

D E )

(即小颖的眼睛距地面的距离) ,那么这棵树高是(

5 3 3 + )m 3 2 5 3 m C. 3 【答案】A
A. (

B. 5 3 + ( D.4m

3 )m 2

( 山东日照) 2. 2010 山东日照)如图,在等腰 Rt△ABC 中,∠C=90o,AC=6,D 是 AC 上一点,若 tan∠DBA= AD 的长为

1 ,则 5

(A) 2 【答案】A

(B) 3

(C) 2

(D)1

3. 2010 四川凉山)已知在 △ABC 中, ∠C = 90 ,设 sinB = n ,当 ∠B 是最小的内角时, n 的取值范 ( 四川凉山)
o

围是 A. 0 < n < 【答案】A ( 四川眉山) 4. 2010 四川眉山)如图,每个小正方形的边长为 1,A、B、C 是小正方形的顶点,则∠ABC 的度数为 A
B C

2 2

B. 0 < n <

1 2

C. 0 < n <

3 3

D. 0 < n <

3 2

A.90°

B.60°

C.45°

D.30°
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【答案】C (2010 浙江省温州)如图,已知一商场自动扶梯的长 z 为 10 米,该自动扶梯到达的高度 h 为 6 米,自 5. 2010 浙江省温州 动扶梯与地面所成的角为θ,则 tanθ的值等于(▲)

【答案 答案】A 答案 ( 浙江台州市) 如图, 矩形 ABCD 中, AB>AD, AB=a, *分∠DAB, AN DM⊥AN 于点 M, CN⊥AN 6. 2010 浙江台州市) 于点 N.则 DM+CN 的值为(用含 a 的代数式表示)(▲)
N

D M A a

C

(第 9 题)

B

A.a 【答案】C

B.

4 a 5

C.

2 a 2

D.

3 a 2

( 黄冈) 7. 2010 黄冈)在△ABC 中,∠C=90°,sinA=
A.

4 ,则 tanB= 5





4 3

B.

3 4

C.

3 5

D.

4 5


【答案】B 答案】 年贵州毕节) 8. 2010 年贵州毕节)在正方形网格中, △ ABC 的位置如图所示,则 cos ∠B 的值为( (

A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.

3 3

【答案】B. ( 湖北荆门) 9. 2010 湖北荆门)计算 2 sin45°的结果等于( )

A. 2

B.1

C.

2 2

D.

1 2
)
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【答案】B 10. 湖南常德) 10. 2010 湖南常德)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,若 AC=2BC,则 sin A 的值是( (

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1 2 【答案】C
A.

B.2

C.

5 5

D.

5 2


11. ( 湖南怀化) 11. 2010 湖南怀化)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,sinA=

4 ,则 cosB 的值等于( 5
D.

A.

3 5

B.

4 5

C.

3 4

5 5

【答案】B 12. ( 湖北随州) 12. 2010 湖北随州)在△ABC 中,∠C=90°,sinA= A.

4 ,则 tanB= 5





4 3

B.

3 4

C.

3 5

D.

4 5
( )

【答案】B
o o 黑龙江哈尔滨) 13. ( 13. 2010 黑龙江哈尔滨)在 Rt?ABC中, ∠C = 90 , ∠B = 35 , AB = 7 ,则 BC 的长为

(A) 7 sin 35

o

(B)

7 cos 35 o
o

(C) 7 cos 35 【答案】C

o

(D) 7 tan 35 .

14. ( 福建三明) 14. 2010 福建三明)如图,在梯形 ABCD 中,AD//BC,AC⊥AB,AD=CD cos ∠DCA = 则 AB 的值是( A.9 C.6 ) B.8 D.3

4 ,BC=10, 5

【答案】D 答案】 15. 山东东营) 15. 2010 山东东营)如图,小明为了测量其所在位置 A 点到河对岸 B 点之间的距离,沿着与 AB 垂直的 ( 方向走了 m 米,到达点 C,测得∠ACB= α ,那么 AB 等于( ) (A) m·sin α 米 (B) m·tan α 米 (C) m·cos α 米
A m

(D)

m 米 tan α

α

C

B

(第 8 题图)

【答案】B 答案】 ( 16 . 2010 湖 北 孝 感 ) 如 图 , △ABC 的 三 个 顶点 分 别 在 正 方 形 网 格 的 格 点 上 , 则 tan ∠A 的 值 是 ( )
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A.

6 5

B.

5 6

C.

2 10 3

D.

3 10 10

【答案】A 答案】 17. ( 天津) 17. 2010 天津) sin 30° 的值等于 (A) 【答案】A 答案】 18. ( 内蒙古包头) , sin 18. 2010 内蒙古包头)已知在 Rt△ ABC 中, ∠C = 90° A =
A.
1 2

(B)

2 2

(C)

3 2

(D)1

4 3

B.

4 5

C.

5 4

3 ,则 tan B 的值为( 5 3 D. 4



【答案】A 答案】 19. ( 广西钦州市) 19. 2010 广西钦州市)如图,为测量一幢大楼的高度,在地面上距离楼底 O 点 20 m 的点 A 处,测得 楼顶 B 点的仰角∠OAB=65°,则这幢大楼的高度为 (结果保留 3 个有效数字) . (A)42.8 m (B)42.80 m (C)42.9 m (D)42.90 m

B

【答案】C 答案】 20. (2010 新疆维吾尔自治区新疆建设兵团 如图(1)是一张 Rt△ABC 纸片,如果用两张相同的这种纸 新疆维吾尔自治区新疆建设兵团) 20. A 65? 片恰好能拼成一个三角形,如图(2) ,那么在 Rt△ABC 中,sin∠B 的值是( )
O 第 16 题

A.

1 2

B.

3 2

C. 1

D.

3 2

【答案】B 答案】
o 年山西) 21. ( 21. 2010 年山西)在 Rt?ABC中, ∠C = 90 ,若将各边长度都扩大为原来的 2 倍,则

∠A 的正弦值




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A.扩大 2 倍 C.扩大 4 倍

B.缩小 2 倍 D.不变

【答案】D 22. 广东茂名) 22. 2010 广东茂名)已知∠A 是锐角,sinA= ( A. 4 【答案】A 23. ( 黑龙江绥化) 23. 2010 黑龙江绥化)直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,∠C=60°,AD=DC=2 2 ,则 BC 的长为( A. 3 【答案】C 四川攀枝花) 24. 2010四川攀枝花 24 . 2010 四川攀枝花 ) 如图4,已知AD是等腰△ABC底边上的高,且tan∠B= ( AE:CE=2:3则tan∠ADE的值是( A. ) C. ) B. 4 2 C. 3 2 D. 2 3 B. 3 C.

3 ,则 5cosA= 5
D. 5

15 4

3 ,AC上有一点E,满足 4

3 5
A

B.

8 9

4 5

D.

7 9

E

B D 图4 【答案】B 二、填空题

C

江苏南通) 1. 2010 江苏南通)如图,正方形 ABCD 的边长为 4,点 M 在边 DC 上,M、N 两点关 ( 于对角线 AC 对称,若 DM=1,则 tan∠ADN= ▲ .

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A

D
·M

B

N

·

C

(第 17 题)

【答案】

4 3

( 四川凉山) 2. 2010 四川凉山)如第 14 题图, ∠1 的正切值等于



【答案】 ( 四川眉山) 3. 2010 四川眉山)如图,已知梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠B=30°,∠C=60°, AD=4,AB= 3 3 ,则下底 BC 的长为 __________.
A 30° B D 60° C

【答案】10 浙江宁波) 4. 2010 浙江宁波) 如图,某河道要建造一座公路桥,要求桥面离地面高度 AC 为 3 米,引桥的坡角∠ ( ABC 为 15°,则引桥的水*距离 BC 的长是 ▲ 米(精确到 0.1 米) .

A B C

【答案】11.2 5. 2010 浙江绍兴) ( 浙江绍兴) 水管的外部需要包扎,包扎时用带子缠绕在管道外部.若要使带子全部包住管道且不重 叠(不考虑管道两端的情况),需计算带子的缠*嵌 α ( α 指缠绕中将部分带子拉成图中所示的* 面 ABCD 时的∠ABC,其中 AB 为管道侧面母线的一部分).若带子宽度为 1,水管直径为 2,则 α 的余弦 值为 .

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第 16 题图

【答案】

1 2π
▲ 米. (结果保留 3 个有效数字,

(2010 浙江义乌 浙江义乌)课外活动小组测量学校旗杆的高度.如图,当太阳光线与地面成 30°角时,测得旗杆 6. AB 在地面上的投影 BC 长为 24 米,则旗杆 AB 的高度约是

3 ≈1.732)

A

B

30°

C

【答案】13.9 答案】 福建晋江) 7. 2010 福建晋江)如图, ∠BAC 位于 6 × 6 的方格纸中,则 tan ∠BAC = (
B

.

A

C
第 13 题图

【答案】 答案】

3 2
3 , tan ∠B 则 5

( 江苏宿迁) 如图, Rt△ABC 中, 在 ∠C=90°, AM 是 BC 边上的中线, ∠CAM = 8. 2010 江苏宿迁) sin 的值为 ▲ .

【答案】 答案】

2 3
2

( 四川南充) 9. 2010 四川南充)如果方程 x ? 4 x + 3 = 0 的两个根分别是 Rt△ABC 的两条边,△ABC 最小的角为 A, 那么 tanA 的值为_______.
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【答案】 答案】

1 2 或 3 4
(结果保留根号)

10. ( 江西) 10. 2010 江西)计算:sin30?·cos30?-tan30?= 【答案】 ?

3 12
,sinA= 。

11. ( 江苏常州) 11. 2010 江苏常州)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=1,则 tanB= 【答案】

12. ( 山东潍坊) 12. 2010 山东潍坊)直角梯形 ABCD 中,AB⊥BC,AD∥BC,BC>AD,AD=2,AB=4,点 E 在 AB 上, . 将△CBE 沿 CE 翻折,使得 B 点与 D 点重合,则∠BCE 的正切值为

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【答案】

1 . 2 4 ,则 AC= 5


13. ( 广东中山) 13. 2010 广东中山)如图,已知 RtΔABC 中,斜边 BC 上的高 AD=4,cosB=

【答案】5 14. ( 湖南怀化) 14. 2010 湖南怀化)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,sinA= 【答案】 30
o

1 ,则∠A= 2



15. ( 湖北荆州) 15. 2010 湖北荆州)如图,在△ABC 中,∠B=45°,cos∠C= 子表示是 .

3 ,AC=5a,则△ABC 的面积用含a的式 5

【答案】 14a

2

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16. ( 湖北省咸宁) 16. 2010 湖北省咸宁)如图,已知直线 l1 ∥ l2 ∥ l3 ∥ l4 ,相邻两条*行直线间的 距离都是 1,如果正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条直 线上,则 sin α =
A B



α

l1 l2 D l3 C l4

(第 14 题)

【答案】

5 5

17. ( 云南红河哈尼族彝族自治州 红河哈尼族彝族自治州) 17. 2010 云南红河哈尼族彝族自治州) 计算: 12 +2sin60°= 3 3 【答案】 3 3 18. ( 广东东莞) 18. 2010 广东东莞)如图,已知 Rt△ABC 中,斜边 BC 上的高 AD=4,cosB=
A 4 5

,则 AC=





D C

【答案】5 19. 湖北襄樊) 19. 2010 湖北襄樊)在△ABC 中,AB=8,∠ABC=30°,AC=5,则 BC=__________. (

【答案】4 3 +3 或 4 3 -3 20. ( 广东汕头 汕头) 20. 2010 广东汕头)如图,已知 Rt△ABC 中,斜边 BC 上的高 AD=4,cosB= 则 AC=_________. A

4 , 5

B

C D 第 11 题图

【答案】5 21. 泸州) 21. 2010 四川 泸州)如图 3,PA 与⊙O 相切点 A,PC 经过⊙O 的圆相交于两点 B、C,若 PA=4,PB=2, ( . 则 sinP=

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【答案】

3 5

22. ( 天津) 22. 2010 天津)如图,等边三角形 ABC 中, D 、 E 分别为 AB 、 BC 边上 的点, AD = BE , AE 与 CD 交于点 F , AG ⊥ CD 于点 G , 则
AG 的值为 AF



C F E G D
第(17)题

A

B

3 2 23. 内蒙古包头) 23. 2010 内蒙古包头)如图,已知 △ ACB 与 △DFE 是两个全等的直角三角形,量得它们的斜边长为 ( 10cm,较小锐角为 30°,将这两个三角形摆成如图(1)所示的形状,使点 B、C、F、D 在同一条直线 上,且点 C 与点 F 重合,将图(1)中的 △ ACB 绕点 C 顺时针方向旋转到图(2)的位置,点 E 在 AB 边 上, AC 交 DE 于点 G ,则线段 FG 的长为 cm(保留根号) .

【答案】 答案】

A E B B C (F) 图(1) D C (F) 图(2) D E G A

【答案】 答案】

19

5 3 2

° ° 24. ( 广西玉林、防城港) 24. 2010 广西玉林、防城港)有四个命题:①若 45 < α <90 ,则 sin α >cos α ;②已知两边及其中

一连接对角能作出唯一一个三角形; ③已知 x 1 、 2 中关于 x 的方程 2x 2 +px+P+1=0 的两根, x 1 +x 2 x 则 +x 1 x 2 的值是负数;④某细菌每半小时分裂一次(每个分裂两个) ,则经过 2 小时它由 1 个分裂为 16 个。 其中正确命题的序号是 (注:把所有正确命题的序号都填上) 。 【答案】①④ 25. 山东荷泽) 25. 2010 山东荷泽)如图,在正方形 ABCD 中,O 是 CD 边上一点,以 O 为圆心,OD 为半径的半圆恰 ( 好与以 B 为圆心,BC 为半径的扇形的弧外切,则∠OBC 的正弦值为 .
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A

D O

B

17 题图

C

【答案】 答案】

3 5

26. ( 湖北咸宁) 26. 2010 湖北咸宁)如图,已知直线 l1 ∥ l2 ∥ l3 ∥ l4 ,相邻两条*行直线间的 距离都是 1,如果正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条直 线上,则 sin α =
A B



α

l1 l2 D l3 C l4

(第 14 题)

5 5 2 27. 吉林) 27. 2010 吉林)将一副三角尺如图所示叠放在一起,若 AB=14cm,则阴影部分的面积是_________cm 。 (
【答案】 答案】

【答案】 3 28. 2010 广东湛江)因为 cos30°= 28. ( 广东湛江) ,cos210°=﹣ 2 ﹣ 3 2 ,因为 cos45°= 2 2 ,cos225°=﹣ 2 2 3 ,所以 cos210°=cos(180°+30°)=﹣cos30°= 2 ,所以 cos225°=cos(180°+45°)=﹣ 2 2 . ,

猜想:一般地,当 α 为锐角时,有 cos(180°+α)=﹣cosα,由此可知 cos240°的值等于 1 【答案】 :﹣ 2

29. ( 广西百色) 29. 2010 广西百色)如图,将边长为 3 + 3 的等边 ?ABC 折叠,折痕为 DE ,点 B 与点 F 重合, EF 和 DF 分别交 AC 于点 M 、 N , DF ⊥ AB ,垂足为 D , AD = 1 .设 ?DBE 的面积为 S ,则重叠部分的面积 为 .(用含 S 的式子表示)

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A D N F M B E
第 20 题

C

【答案】 S ? 三、解答题

3 2

( 辽宁丹东市 1. 2010 辽宁丹东市)计算: 2(2 cos 45° ? sin 60°) + 丹东

24 . 4

【答案】解:
原式 = 2(2 × 2 3 2 6 ? )+ 2 2 4

= 2?
=2

6 6 + 2 2
BD=8.

( 甘肃兰州) ( 已知*行四边形 ABCD 中, 对角线 AC 和 BD 相交于点 O, AC=10, 2.2010 甘肃兰州)本题满分 10 分) (1)若 AC⊥BD,试求四边形 ABCD 的面积 ; (2)若 AC 与 BD 的夹角∠AOD= 60 ,求四边形 ABCD 的面积; (3)试讨论:若把题目中“*行四边形 ABCD”改为“四边形 ABCD” ,且∠AOD= θ AC= a ,BD= b ,试求四边形 ABCD 的面积(用含 θ , a , b 的代数式表示) .
o

第【答案 答案】解: (1)∵AC⊥BD 答案 ∴四边形 ABCD 的面积=40 (2) 过点 A 分别作 AE⊥BD,垂足为 E ∵四边形 ABCD 为*行四边形

AO = CO =

1 AC = 5 2 sin ∠AOE =

BO = DO = AE AO

1 BD = 4 2

在 Rt⊿AOE 中, ∴

AE = AO ? sin ∠AOE = AO × sin 60 o = 5 ×

3 5 3 = 2 2 …………4 分

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1 1 3 OD ? AE = × 4 × ×5 = 5 3 2 2 2 ∴ ………………………………5 分 S = 4S ?AOD = 20 3 ……………………………………6 分 ∴四边形 ABCD 的面积 S ?AOD =
(3)如图所示过点 A,C 分别作 AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为 E,F …………7 分

AE AO 在 Rt⊿AOE 中, ∴ AE = AO ? sin ∠AOE = AO × sin θ sin ∠AOE =
同理可得

CF = CO ? sin ∠COF = CO × sin θ
……………8 分 ∴四边形 ABCD 的面积

…………………

S = S ?ABD + S ?CBD = =

1 1 BD ? AE + BD ? CF 2 2

1 BD sin θ ( AO + CO ) 2 1 = BD ? AC sin θ 2 1 = ab sin θ 2
( 重庆) 已知: 如图, Rt△ ABC 中,∠C = 90 o ,AC = 3 . D 为 BC 边上一点, BD = 2 AD , 在 点 且 3. 2010 重庆)

∠ADC = 60° .求△ ABC 周长. (结果保留根号)
A

B

D

C

20 题图 【答案】 解:在 Rt ?ADC 中, ∵ sin ∠ADC =

AC AC 3 ,∴ AD = = =2. AD sin ∠ADC sin 60° ∴ BD = 2 AD = 4
AC AC 3 ,∴ DC = = = 1. DC tan ∠ADC tan 60° ∴ BC = BD + DC = 5 .
∵ tan ∠ADC =

在 Rt ?ABC 中, AB =

AC 2 + BC 2 = 2 7 .

∴ ?ABC 的周长 = AB + BC + AC = 2 7 + 5 + 3 (2010 年上海)如图 9,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°.半径为 1 的圆 A 与边 AB 相交于点 D,与边 4. AC 相交于点 E,连结 DE 并延长,与线段 BC 的延长线交于点 P.
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(1)当∠B=30°时,连结 AP,若△AEP 与△BDP 相似,求 CE 的长; (2)若 CE=2,BD=BC,求∠BPD 的正切值; (3)若 tan ∠BPD =

1 ,设 CE=x,△ABC 的周长为 y,求 y 关于 x 的函数关系式. 3

图9

图 10(备用)

图 11(备用)

A D D E C P B 图2 H

A D E P B 图3 H

A E

B 图1

C

C

P

【答案】 (1)如图 1, 解: ∵∠ACB=90°, ∠B=30°,∴∠BAC=60°,∵AD=AE=1∴ΔADE 为等边三角形, ∴∠ADE=∠AED=60°,∴∠BDE=∠AEP=120°,∠CEP=60°,∴∠EPC=30°=∠B, ∴ΔBDP 为等腰三角形,∵ΔAPE 与ΔBPD 相似,∴ΔAPE 为等腰三角形,AE=EP=1, ∴CE= EP= . (2)设 BC=BD= x ,∠ACB=90°,∴ ( x + 1) 2 = x 2 + 32 ,∴ x =4 ,BC=BD=4, 过 D 作 DH⊥BC 交 BC 于 H,如图 2,∴DH∥AC,∴ 同理可得 CH =
BD DH 4 DH 12 = ,∴ = ,∴ DH = , BA AC 5 3 5

1 2

1 2

4 CE PC 2 CP 1 ,∵DH∥AC,∴ = , ,∴CP=4, ∵∠ECP=90°,∴ tan ∠BPD = . = 4 DH PH 12 2 5 CP + 5 5

(3)如图 3,当 tan ∠BPD = 时,设 CE= x ,∴CP=3 x ,由(2) ∴设 BD= m ,∴ DH =

1 3

BD DH CE PC = , = DH PH BA AC

m( x + 1) 3m( x + 1) 3m ? 3 x , PH = , CH = , BC = 3m ? 3 x , m +1 m +1 m +1 5x + 1 ,∴ y =m+1+x+1+3m-3x=3x+3. 4

∴ (m + 1)2 = (3m ? 3x) 2 + ( x + 1)2 ,∴ m1 = x(舍), m2 =

四川巴中) 5. 2010 四川巴中)已知如图 8 所示,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=AD=DC=8,∠B=60°,连接 AC. ( (1)求 cos∠ACB 的值 (2)若 E、F 分别是 AB、DC 的中点,连接 EF,求线段 EF 的长。

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A

D

B

C

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【答案】 (1)∵∠B=60°,∴∠BCD=60°,又∵AB=AD=DC,∴∠DAC=∠DCA,∵AD∥BC,∴∠DAC= ∠BCA,∴∠DCA=∠BCA,∴∠ACB=30°,cos∠ACB=cos30°=

3 。 2

(2)AB=AD=DC=8,∠ACB=30°,∴BC+2AB=16,∵E、F 分别是 AB、DC 的中点, ∴EF=

1 1 ( AD + BC ) = (8 + 16) =12。 2 2

( 黑龙江哈尔滨) 6. 2010 黑龙江哈尔滨) 已知:在△ABC 中 AB=AC,点 D 为 BC 边的中点,点 F 是 AB 边上一点,点 E 在线段 DF 的延长线上,∠BAE=∠BDF,点 M 在线段 DF 上,∠ABE=∠DBM. (1)如图 1,当∠ABC=45°时,求证:AE= 2 MD; (2)如图 2,当∠ABC=60°时,则线段 AE、MD 之间的数量关系为: (3)在(2)的条件下延长 BM 到 P,使 MP=BM,连接 CP,若 AB=7,AE= 2 7 , 求 tan∠ACP 的值. 。

【答案】 (1)证明:如图 1

连接 AD

∵AB=AC BD=CD ∴AD⊥BC 又∵∠ABC=45°

∴ BD = AB ? cos ∠ABC 即AB = 2 BD Q ∠BAE = ∠BDM
∠ABE=∠DBM ∴△ABE∽△DBM



AE AB = = 2 ∴ AE = 2 MD DM DB

(2)AE=2MD (3)解:如图 2 连接 AD、EP ∵AB=AC ∠ABC=60°D ∴△ABC 为等边三角形
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2010 年中考数学真题试题分类汇编

专题三十 锐角三角函数

又∵D 为 BC 中点 ∴AD⊥BC ∠DAC=30 BD=DC=

1 AB 2 BE AB = =2 BM DB

∵∠BAE=∠BDM ∠ABE=∠DBM ∴△ABE∽△DBM ∴

∠AEB=∠DMB ∴EB=EBM 又∵BM=MP ∴EB=BP 又∵∠EBM=∠ABC=60° ∴△BEP 为等边三角形 ∴EM⊥BP ∴∠BMD=90° ∴∠AEB=90°

在Rt?AEB中, AE = 2 7 ∴ BE =

AB = 7 3 2

AB 2 ? AE 2 = 21 ∴ tan ∠EAB =

∵D 为 BC 中点 M 为 PB 中点 ∴DM//PC ∴∠MDB=∠PCB ∴∠EAB=∠PCB

∴ tan ∠PCB =

3 2

7 3 2 7 7 在Rt?NDC中 ND = DC ? tan ∠NCD = 3 ∴ NA = AD ? ND = 3 4 4 在Rt?ABD中 AD = AB ? sin ∠ABD =
过 N 作 NH⊥AC,垂足为 H 在 Rt?ANH中

NH =

1 7 AH = 3 2 8

AH = AN ? cos ∠NAH =

21 8

∴ CH = AC ? AH =

35 3 ∴ tan ∠ACP = . 8 5

( 年山西) 7. 2010 年山西)如图,四边形 ABCD 是*行四边形,以 AB 为直径的⊙O 经过点 D,E 是⊙O 一点,且 ∠AED=45 (1)试判断 CD 与⊙的位置关系,并说明理由; (2)若⊙O 的半径为 3cm,AE=5cm,求∠ADE 的正弦值。

【答案】解: (1)CD 与⊙O 相切。 …………1 分 理由是:连接 OD, 则∠AOE=2∠AED=2×45°=90° …………2 分 ∵四边形 ABCD 是*行四边形 ∴AB//DC, ∴∠CDO=∠AOD=90°,…………3 分
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2010 年中考数学真题试题分类汇编

专题三十 锐角三角函数

∴OD⊥CD,∴CD 与⊙O 相切 …………4 分 (2)连接 BE,则∠ADE=∠ABE。 …………6 分 ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠AEB=90°,AB=2×3=6(cm). …………7 分 在 Rt?ABE中, sin ∠ABE =

AE 5 = , AB 6

( 湖北宜昌) 8. 2010 湖北宜昌)如图,已知 Rt△ABC 和 Rt△EBC, ∠B = 90 °。以边 AC 上的点 O 为圆心、OA 为 半径的⊙O 与 EC 相切,D 为切点,AD//BC。 (1)用尺规确定并标出圆心 O; (不写做法和证明,保留作图痕迹) (2)求证: ∠E = ∠ACB
[来源:Zxxk.Com]

5 ∴ sin ∠ADE = sin ∠ABE = . …………8 分 6

(3)若 AD=1, tan ∠DAC =

2 ,求 BC 的长。 分) (8 2
C

D

E

A

B

【答案】 (提示:O 即为 AD 中垂线与 AC 的交点或过 D 点作 EC 的垂线与 AC 的交点等). (1) 能见作图痕迹,作图基本准确即可,漏标 O 可不扣分 ········ 2 分 (2)证明:连结 OD.∵AD∥BC , ∠B=90°,∴∠EAD=90°. ∴∠E+∠EDA=90°,即∠E=90°-∠EDA. 又圆 O 与 EC 相切于 D 点,∴OD⊥EC. ∴∠EDA+∠ODA=90°,即∠ODA=90°-∠EDA.
[来源:Z_xx_k.Com]

∴∠E=∠ODA ························· 3 分 (说明:任得出一个角相等都评 1 分) 又 OD=OA,∴∠DAC=∠ODA,∴∠DAC=∠E.············ 4 分 ∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∴∠E=∠ACB. ··········· 5 分 (3)Rt△DEA 中,tan∠E=
DA 2 ,又 tan∠E=tan∠DAC= , EA 2

∵AD=1∴EA= 2 . ······················ 6 分 年福建省泉州) 9 . 2010 年福建省泉州 ) 如图,在梯形 ABCD 中, ∠A = ∠B = 90° , AB = 5 2 ,点 E 在 AB 上, (

∠AED = 45° , DE = 6 , CE = 7 .
求: AE 的长及 sin ∠BCE 的值.
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2010 年中考数学真题试题分类汇编

专题三十 锐角三角函数

【答案】解: (1)如图,在 Rt?DAE 中, ∠A = 90° , ∠AED = 45° , DE = 6 ∵ cos ∠AED =

AE …………………………………………(2 分) DE

∴ AE = DE × cos ∠AED ……………………………………(3 分) = 6 × cos 45° =3 2 (2)∵ BE = AB ? AE ……………………………………(4 分) ……………………………………(5 分) ………………………………………………(6 分)

∴ BE = 5 2 ? 3 2 = 2 2 ……………………………………………(7 分) 在 Rt?BCE 中, EC = 7 , sin ∠BCE =

BE CE

…………………(8 分)

=

2 2 7

………………………………………………(9 分)

10. ( 内蒙呼和浩特) 10. 2010 内蒙呼和浩特)如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,AD 是∠BAC 的角*分线,与 BC 相交于点 D,且 AB=4 3 ,求 AD 的长.
A

C

D

B

【答案】解:在 Rt△ABC 中 ∵ ∠B=30° ∴ AC=

1 1 AB= ×4 3 =2 3 2 2

∵ AD *分∠BAC ∴ 在 Rt△ACD 中,∠CAD=30° ∴ AD=
AC 2 3 = =4 cos30o 3 2 11. 内蒙赤峰) 11. 2010 内蒙赤峰)关于三角函数有如下的公式: (
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2010 年中考数学真题试题分类汇编

专题三十 锐角三角函数

利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值,如

根据上面的知识,你可以选择适当的公式解决下面实际问题: 如图,直升飞机在一建筑物 CD 上方 A 点处测得建筑物顶端 D 点的俯角 α 为 60°,底端 C 点的俯角 β 为 75°,此时直升飞机与建筑物 CD 的水*距离 BC 为 42 米,求建筑物 CD 的高。

【答案】解:过点 D 作 DE⊥于 E,依题意,在 Rt△ADE 中,∠ADE=∠α=60 , AE=ED·tan60=BC·tan60=42 3 . 在 Rt△ACB 中,∠ACB=∠β=75 .AB=BC·tan75
.

.

∵tan75=tan(45+30)=

tan 45. + tan 30 . 3 + 3 = =2+ 3 1 ? tan 45 × tan 30 3 ? 3

∴AB=42×(2+ 3 )=84+42 3 CD=BE=AB-AE=84+42 3 -42 3 =84(米) 答:建筑物 CD 的高为 84 米. Rt△ABC 中,tan∠ACB=
AB , BC

又∠DAC=∠ACB,∴tan∠ACB=tan∠DAC. ∴
AB 2 = ,∴可设 AB = 2 x, BC = 2 x . 2 BC

∵AD∥BC,∴Rt△EAD∽Rt△EBC. ·· 7 分 ∴
2 1 EA AD = ,即 = . EB BC 2 + 2 x 2x

∴ x = 1 ,∴ BC = 2 x = 2 .

8分

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