高中数学人教B版必修二2.3.1《圆的标准方程》ppt课件二

发布于:2021-06-11 04:01:34

圆的标准方程

求曲线方程的一般步骤:
(1)建立适当的坐标系,用(x,y)表示曲线上任 意一点M的坐标
(2)写出适合条件P的点M的集合 P={M | p(M)};
(3)用坐标表示条件p(M),列出方程 f(x,y)=0
(4)化方程 f(x,y)=0为最简形式
(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲 线上的点。

建系、设点 条件立式 代换 化简方程 查缺补漏

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求:圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程

设M(x,y)是圆上任意一点,

y

根据定义,点M到圆心C的 距 离等于r,所以圆C就是集合

M r
C

P={M| |MC|=r}

由两点间的距离公式,点M适

O

x

合的条件可表示为:

(x-a) 2 + (y-b) 2 = r

说明:

把上式两边*方得: (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2

1、特点:明确给出了圆心 坐标和半径。
2、确定圆的方程必须具 备三个独立条件。

练*:1、写出下列各圆的方程:
(1)圆心在点C(3, 4 ),半径是 5 (2) 经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)

(x-3)2+(y-4)2=5
(x-8)2+(y+3)2=25

补充练*: 写出下列各圆的圆心坐标和半径: (1) (x-1)2+y2=6 (2) (x+1)2+(y-2)2=9 (3)(x+a)2+y2=a2

(1,0)

6

(-1,2) 3

(-a,0) |a|

例1:求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0 相切的

圆的方程。

y

解:设所求圆的方程为:

(x-1)2+(y-3)2=r2

C

因为圆C和直线3x-4y-7=0相切
所以圆心C到这条直线的距离等 O 于半径r

M x

根据点到直线的距离公式,得

| 3×1— 4×3 — 7 | 16

r=

32+(-4)2

= 5

因此,所求圆的方程是 (x-1)2+(y-3)2

=

256 25

练*2: 已知一个圆的圆心在原点,并与直线4x+3y-70=0相 切,求圆的方程。
x 2+y2=196

例2 已知圆的方程是x2 y2 r 2 ,求经过圆上一点

M (x0 , y0 ) 的切线的方程。 解:设切线的斜率为 k,则 k - 1 .
kOM

kOM



y0 x0

,

k - x0 . y0

经过点M的切线方程是

y
M (x0 , y0 )

y

-

y0



-

x0 y0

(x

-

x0

),

O

x

因为点M在圆上,所以 x02 y02 r2,

所求的切线方程是

x0x y0 y r2.
当点M在坐标轴上时,可以验证,上面方程同样适用.

例2 已知圆的方程是 x2 y2 r 2,求经y 过圆上一点

M (x0 , y0 ) 的切线的方程。

P(x , y )

解法二(利用*面几何知识):

M (x0 , y0 )

在直角三角形OMP中

O

x

由勾股定理:OM2+MP2=OP2

x0x +y0 y = r2

圆的方程是 x2 y2 r,2 经过圆上一点
M (x0 , y0 ) 的切线的方程 x0x +y0 y = r2
过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为: (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2

练*3:写出过圆x2+y2=10 上一点 M(2, 6) 的切线方程。

2x + 6 y =10

练*4:已知圆的方程是x2+y2=1,求:

(1)斜率等于1的切线的方程;

提示:设切线方程为 y=x+b ,由圆心到切线的距离等于半

径1,得: |b|

=1 解得b=± 2

12+(-1)2

所以切线方程为:y = x± 2

(2)在y轴上截距是 2 的切线方程。

y = ± x+ 2

例3:如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m, 拱度高(O精P确=4到m0,.0在1m建) 造时每隔4m需用一个支柱支y撑,求支柱A2P2的长

解:建立如图所示的坐标 系,设圆心坐标是(0,b) 圆的半径是r ,则圆的方程是 x2+(y-b)2=r2 。
x 把P(0,4) B(10,0)代入圆的方程得方程组:
02+(4-b)2= r2

102+(0-b)2=r2

解得:b= -10.5 r2=14.52

所以圆的方程是: x2+(y+10.5)2=14.52

把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程,得

(-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m)

答:支柱A2P2的长度约为3.86m。

课后思考题:

1、求圆心C在直线 x+2y+4=0 上,且过两定点A(-1 , 1)、 B(1,-1)的圆的方程。

(x+ 4 )2+(y+ 4 )2= 50

3

3

9

2、从圆x2+y2=10外一点P(4,2)向该圆引切线,求切线方 程。

x+3y=10 或 3x-y=10

小结
(1) 圆心为C(a,b),半径为r 的圆的标准方程为
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
当圆心在原点时 a=b=0,圆的标准方程为:
x2 + y2 = r2
(2) 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数,因此必须具 备三个独立的条件才能确定圆;对于由已知条件容易求得圆心 坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的 标准方程。
(3) 注意圆的*面几何知识的运用以及应用圆的方程解决实 际问题。

作业:
*题7.7 P81 1(2)、2 、 4


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