2019年高中数学北师大版必修2*题:第二章解析几何初步2.2.1

发布于:2021-07-26 11:21:41

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§2 圆与圆的方程

2.1 圆的标准方程
1.圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程是 A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1

()

解析:设圆心 C(0,m),则有

- =1,解得 m=2,所以圆的方程是 x2+(y-2)2=1.

答案:A
2.如图所示,已知 ACB 为一弓形,且点 A,B,C 的坐标分别为(-4,0),(4,0),(0,2),则弓形所在圆的方程为 ()

A.x2+y2=16

B.x2+y2=4

C.x2+(y+2)2=20 D.x2+(y+3)2=25

解析:∵圆心在弦 AB 的中垂线上,

∴圆心在 y 轴上,可设 P(0,b).

∵|AP|=|CP|,



=|2-b|,解得 b=-3,

∴圆心 P(0,-3).半径 r=|CP|=5,

∴圆的标准方程为 x2+(y+3)2=25.

答案:D

3.若点 P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是( )

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A.x-y-3=0

B.2x+y-3=0

C.x+y-1=0

D.2x-y-5=0

解析:设圆心为 C(1,0),则 AB⊥CP, ∵直线 CP 的斜率 kCP=-1, ∴直线 AB 的斜率 kAB=1. ∴直线 AB 的方程是 y+1=x-2,

即 x-y-3=0.

答案:A

4.若△ABC 三个顶点的坐标分别是 A(1,0),B(3,0),C(3,4),则该三角形外接圆的方程是( ) A.(x-2)2+(y-2)2=20 B.(x-2)2+(y-2)2=10 C.(x-2)2+(y-2)2=5

D.(x-2)2+(y-2)2= 解析:在*面直角系中作出 A,B,C 三点,并连接 AB,BC,AC,易知△ABC 是直角三角形,∠B=90°,所以圆 心是斜边 AC 的中点(2,2),半径是斜边长的一半,即 r= ,所以外接圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=5. 答案:C

5.已知 A(3,-2),B(-5,4),则以 AB 为直径的圆的方程是( ) A.(x-1)2+(y+1)2=25 B.(x+1)2+(y-1)2=25 C.(x-1)2+(y+1)2=100 D.(x+1)2+(y-1)2=100

解析:线段 AB 的中点为 C(-1,1),|AB|= 以 5 为半径的圆,圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=25.

- - =10,所以以 AB 为直径的圆即是以 C 为圆心,

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答案:B 6.若直线 x+y-3=0 始终*分圆(x-a)2+(y-b)2=2 的周长,则 a+b=( )

A.3

B.2

C.5

D.1

解析:由题意知,圆心(a,b)在直线 x+y-3=0 上,所以 a+b-3=0,即 a+b=3.故选 A.

答案:A

7.若圆 C 与圆(x+2)2+(y-1)2=1 关于原点对称,则圆 C 的标准方程为

.

解析:已知圆的圆心为点(-2,1),它关于原点的对称点为(2,-1),即 C(2,-1),所以圆 C 的标准方程为(x2)2+(y+1)2=1.

答案:(x-2)2+(y+1)2=1

8.圆心为直线 x-y+2=0 与直线 2x+y-8=0 的交点,且过原点的圆的标准方程是 .

解析:由 -

解得

所以圆心为(2,4),

半径 r=

.

所以圆的方程为(x-2)2+(y-4)2=20.

答案:(x-2)2+(y-4)2=20

9.设 P 是圆(x-3)2+(y+1)2=4 上的动点,Q 是直线 x=-3 上的动点,则|PQ|的最小值为

.

答案:4

10.根据下列条件,求圆的标准方程:

(1)圆经过点 A(1,1),B(-1,3)且面积最小;

(2)圆经过点 A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线 x+y-2=0 上.

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解(1)过 A,B 两点且面积最小的圆就是以线段 AB 为直径的圆,可知所求圆的圆心坐标为(0,2),半径

r= |AB|=

-

,

故所求圆的标准方程为 x2+(y-2)2=2. (2)设点 A(1,-1),B(-1,1)的中点为 O(0,0),过 A,B 两点的直线的斜率 kAB=-1, ∴线段 AB 的垂直*分线为 y=x.



-

可知所求圆的圆心坐标为(1,1),半径 r= -

程为(x-1)2+(y-1)2=4.

=2,故所求圆的标准方

11.已知*面直角坐标系中有四个点 A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2),判断这四个点能否在同一个圆上,为 什么?

解设经过 A,B,C 三点的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).代入三点的坐标得

-

-

-

-

-

解方程组,得

所以经过 A,B,C 三点的圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=5.将

点 D 的坐标代入圆的标准方程,左边=右边,所以点 D 在圆上,故 A,B,C,D 四点能在同一个圆上.

★12.已知圆 C:(x- )2+(y-1)2=4 和直线 l:x-y=5,求圆 C 上的点到直线 l 的距离的最大值与最小值.

解∵圆(x- )2+(y-1)2=4 的圆心为( ,1),半径为 2,

且圆心到直线 l:x-y=5 的距离 d= - -

-

-.

∴圆 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 d+r= - +2=

- ,最小值为 d-r= - -

2= - - .

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